Как исследовать функцию и построить ее график

Как исследовать функцию и построить ее график
График параболы

Построение графика функции является неотъемлемой частью обучения как в школе, так и в ВУЗе, иногда применяется и на работе. Часто от этого умения зависит ваша оценка по математике или даже дальнейшая судьба в университете. Так вот сегодня мы и попытаемся научиться этому навыку.

Инструкция

Уровень сложности: Несложно

1 шаг

Как исследовать функцию и построить ее график
Наша функция и ее область определения

Итак, начнем.
Для определенности рассмотрим функцию, уравнение которой записана на иллюстрации слева от шага. Все вычисления будут также показаны на иллюстрациях соответствующих шагов.
Первым делом находим область определения. Областью определения называют множество всех тех значений переменой x, при которых алгебраическое выражение справа имеет смысл.
Таким образом, область определения нашей функции это объединение промежутков
1 – от минус бесконечности до -1 (не включая само число -1)
2 – от -1 до плюс бесконечности (также, не включая -1)

2 шаг

Как исследовать функцию и построить ее график
Асимптоты

Теперь вторым этапом мы должны найти все асимптоты функции.
Для того, чтобы найти все вертикальные асимптоты, мы должны применить уже более углубленные знания математики. Так вот, для этого необходимо найти предел слева и справа функции в точках, которые не входят в область определения. В нашем случае это точка -1. Если оба предела равны бесконечности, тогда функция x=c, где с это точка, в которой искали предел, является вертикальной асимптотой. Иначе вертикальных асимптот не существует.
Теперь найдем все наклонные асимптоты. Каждая наклонная асимптота задается общим уравнением y=kx+b. Для того чтобы найти k мы вычисляем предел выражения f(x)\x при х стремящемся к плюс, а потом и к минус бесконечности. Если получаем конкретное число, то это и есть искомое k, иначе наклонных асимптот нет. Если k это конкретное число, тогда ищем b. Для этого находим предел выражения (f(x) – kx), где f(x) это исходная функция.
Более подробную информацию, о том, как найти эти пределы, вы найдете на просторах интернета. Сейчас наша цель именно понять, как исследовать функцию. Поэтому переходим к следующему этапу.

3 шаг

Как исследовать функцию и построить ее график
Четность\нечетность

Следующим этапом определяем четность\нечетность функции. Для этого Вместо х подставляем в уравнение .
Если выражение не изменилось при подстановке, тогда функция является четной. А значит, ее график симметричен относительно оси ординат Oy.
Если f(-x)= -f(x) тогда функция – нечетная. А значит, ее график симметричен относительно начала координат.
Иначе функция является функцией общего вида.
Примеры:
y=x^2 – четная
y=x^3 – нечетная

4 шаг

Как исследовать функцию и построить ее график
Точки пересечения

Теперь находим точки пересечения графика функции с осями координат.
Для того, чтобы найти точки пересечения графика с осью абсцисс Ox. Для этого подставляем в уравнение функции y=0, решая это уравнение получим искомую точку.
Для того, чтобы найти точки пересечения графика с осью ординат . Для этого подставляем в уравнение функции х=0, решая это уравнение получим искомую точку.

5 шаг

Как исследовать функцию и построить ее график

Находим промежутки возрастания\убывания функции и точки максимума, минимума.
Для этого находим первую производную функции. Далее находим критические точки, для этого приравниваем производную к нулю и находим х. Так же критической точкой является и значение х, при которых знаменатель обращается в нуль. Строим ось координат и отмечаем на ней найденные точки. Теперь наша ось разбита на несколько промежутков. На каждом из них находим знак производной, т.е подставляем из каждого промежутка любую точку. Если при этом значении производная больше нуля, тогда функция на соответствующем промежутке возрастает. И, наоборот, если при этом значении производная меньше нуля, тогда функция на соответствующем промежутке убывает.
Если в точке, обозначенной на прямой, знак производной меняется с плюса на минус, тогда это точка максимума, если с минуса на плюс, тогда точка минимума.

6 шаг

Как исследовать функцию и построить ее график

Теперь найдем промежутки выпуклости функции.
Для этого найдем вторую производную функции. Так же найдем и отметим критические точки, как и в предыдущем шаге. Найдем промежутки, где производная больше нуля и где меньше. Там, где вторая производная положительна – функция выпукла вниз, там, где меньше – выпукла вверх.
Точки, в которых знак второй производной меняется , называется точкой перегиба.

7 шаг

Как исследовать функцию и построить ее график

Теперь, пользуясь всеми данными, которые мы получили в ходе исследования, строим график функции.

Советы и предупреждения:

  • Если что-то не понятно, пишите комментарии, попробуем разобраться вместе ;-)

Обсуждение

808_micro
Рейтинг
  1. +
  2. 1
Mintonov (18:35 20.01.2011)

Не хило_) Для тех, кто не знает как исследовать функцию и построить ее график ))

297_micro
Рейтинг
  1. +
  2. 4
NikAS_93 (18:40 20.01.2011)

Да, проделать это все довольна таки сложно, но если в каждом шаге разобраться, что, как и откуда берется, тогда все станет ясно) Про нахождение производной я напишу в следующей инструкции, а вот с пределами дела обстоят похуже)

009_micro
Рейтинг
  1. +
  2. 2
Swelk (19:48 20.01.2011)

Люди видать в школе не учились-те кто не знает

297_micro
Рейтинг
  1. +
  2. 4
NikAS_93 (19:50 20.01.2011)

Ну почему же не учились?) Ведь, на сколько я знаю, предел слева и справа функции в школе не изучается, да и вообще про предел функции я там не слышал)

764_micro
Рейтинг
  1. +
  2. 1
juzz (17:20 21.01.2011)

Спасибо, очень полезны такие инструкции по математике, написанные доступным и логичным языком, плюс

116_micro
Рейтинг
  1. +
  2. 1
opo6ac (22:04 22.01.2011)

Молодед, это может пригодитья за старанье +

418_micro
Рейтинг
  1. +
  2. 1
alex_amir (23:48 14.02.2011)

Отличная инфа! Построение и исследование графиков функции – важная тема в математике! Автору плюс!!!

Avatar_micro
Рейтинг
  1. +
  2. 1
Екатерина Морозова (20:49 28.05.2011)

левый и правый предел мы, школьники, может, не изучали, но вычислять границы области определения умеем.
там всего-то два правила: если есть деление на выражение с х, то это выражение не должно быть равно нулю (на 0 делить нельзя), а если есть корень из х или выражения с ним, то это подкоренное выражение не должно быть меньше нуля. все!

Ваш комментарий

Запросить инструкцию

Не нашли нужную пошаговую инструкцию?
Возможно, что кто-то из посетителей сайта сможет помочь. Оставьте запрос прямо сейчас, если Вы уверены, что эта тема ещё не освещена на нашем проекте!

Рейтинг
  1. +
  2. 9
8
21732