Как решить задачу C2 из ЕГЭ по математике (куб, угол между прямыми)

Как решить задачу C2 из ЕГЭ по математике (куб, угол между прямыми)

Хотите научиться решать задачу C2 из ЕГЭ по математике? Эта инструкция для Вас!
Сейчас мы научимся решать задачу на нахождение угла между двумя прямыми в кубе, используя для этого координатно-векторный метод.

Инструкция

Уровень сложности: Несложно

Что вам понадобится:

  • знание основных понятий стереометрии и тригонометрии
  • аккуратность в вычислениях

1 шаг

Задача:
Дан куб ABCDA1B1C1D1, где E – середина DD1 и нужно найти угол между A1E и AC. Сделаем рисунок, запишем “дано” и “найти”.

2 шаг

Как решить задачу C2 из ЕГЭ по математике (куб, угол между прямыми)

Приступим к самому решению. Первый шаг – введение системы координат. Я советую вводить её так, чтобы наибольшее число точек имело хотя бы одну координату, равную нулю. Впрочем, никто не запрещает вводить её именно так, как удобно Вам – главное, чтобы Вы могли правильно посчитать координаты точек.

3 шаг

Как решить задачу C2 из ЕГЭ по математике (куб, угол между прямыми)

В данной задаче я сделаю началом координат точку A, ось Ox направлю по горизонтальному ребру куба AD, ось Oy – перпендикулярно ей по ребру AB, а ось Oz – перпендикулярно плоскости основания – по ребру AA1. За единичный отрезок примем ребро куба. Этот шаг следует отразить в решении (примерно как на картинке).

4 шаг

Как решить задачу C2 из ЕГЭ по математике (куб, угол между прямыми)

Для нахождения угла между прямыми, нам следует найти координаты направляющих векторов для данных прямых (для чего, в свою очередь нужно найти координаты их концов). Находим координаты точек A1;E;A;C. Для точек A и A1 это просто – т.к. A это начало координат, её координаты будут равны (0;0;0). A1 это точка A, сдвинутая вверх на длину ребра, поэтому она имеет координаты (0;0;1). Для точки C: опускаем перпендикуляры на оси Ox (CD),Oy(AB) и находим их длины (по единице). Аппликата (координата по оси Z) будет равна нулю, т.к. точка лежит на нижнем основании. Для точки E: E – это середина отрезка DD1, следовательно мы можем найти её координаты, сложив соответствующие координаты точек D и D1 и разделив на два. D – точка A, сдвинутая по оси Ox на ребро куба, поэтому она имеет координаты (1;0;0). D1 (аналогично A и A1) имеет координаты (1;0;1). E имеет координаты (1;0;0.5). Не забудьте отразить все эти шаги в решении!

5 шаг

Как решить задачу C2 из ЕГЭ по математике (куб, угол между прямыми)

Найдём координаты векторов A1E и AC. Для этого нам нужно для каждого вектора из соответствующих координат конца вычесть координаты начала. Таким образом, AC имеет координаты {1;1;0}, а A1E имеет координаты {1;0;-0.5}.

6 шаг

Как решить задачу C2 из ЕГЭ по математике (куб, угол между прямыми)

И, наконец, последний шаг – нахождение угла. Следует запомнить формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами (на рисунке). Производим необходимые вычисления и приходим к ответу.

7 шаг

Как решить задачу C2 из ЕГЭ по математике (куб, угол между прямыми)

Вот и всё! Осталось лишь записать ответ. Внимательно следите, что именно требовалось найти в задаче – угол, его косинус, синус или тангенс. Если угол – в ответе нужно написать arccos и то, что получилось в предыдущем шаге. Зная косинус, синус и тангенс можно найти по формулам на картинке.

Советы и предупреждения:

  • Координаты точек пишутся в круглых скобках, а координаты векторов - в фигурных
  • Над векторами пишется стрелка
  • Получившийся косинус всегда должен быть меньше или равен единице

Обсуждение

179_micro
Рейтинг
  1. +
  2. 0
Allive (22:13 14.05.2013)

Четко, с толком, с расстановкой

Ваш комментарий

Запросить инструкцию

Не нашли нужную пошаговую инструкцию?
Возможно, что кто-то из посетителей сайта сможет помочь. Оставьте запрос прямо сейчас, если Вы уверены, что эта тема ещё не освещена на нашем проекте!

Рейтинг
  1. +
  2. 0
1
7