Как решить задачу Г26 ГИА по математике?

Как решить задачу Г26 ГИА по математике?

Г26 – задача из второй части экзамена. Разумеется, при решении такого рода олимпиадных задач используются теоремы и свойства, которые не проходятся по школьной программе. В этом и сложность.
Условие задачи: биссектрисы боковых углов А и Б при боковой стороне АБ трапеции АБСД пересекаются в точке Г, биссектрисы углов С и Д при боковой стороне СД пересекаются в точке Ф. Найдите отрезок ГФ, если основания трапеции равны 5 и 10, боковые стороны равны 3 и 6.

Инструкция

Уровень сложности: Сложно

1 шаг

Итак, нам необходимо найти отрезок заключенный между точками пересечения биссектрис углов при боковых сторонах трапеции. Решаем.

2 шаг

По свойству, биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом. Следовательно, углы Г и Ф равны 90 градусам.
По свойству, биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на средней линии.
Следовательно, отрезок ГФ лежит на средней линии.

3 шаг

По определению, средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. Средняя линия равна полусумме оснований.
Проведем среднюю линию в трапеции АБСД, обозначив ее точками Н на стороне АБ и К на стороне СД. Поскольку основания равны 5 и 10, средняя линия равна (5+10)/2=7,5.

4 шаг

Из первых двух свойств следует, что отрезки ГН и ФК выходят из прямоугольных вершин прямоугольных треугольников АГБ и ДФС соответственно и заканчиваются на серединах их гипотенуз.
Прямая, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны, называется медианой.
По свойству, медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины его прямого угла равна половине гипотенузы.
Следовательно, ГН=3/2=1,5; ФК=6/2=3.
Тогда отрезок ГФ=7,5-3-1.5=3
Ответ: ГФ=3.
Задача решена.

Обсуждение

736_micro
Рейтинг
  1. +
  2. 1
Violina (23:51 10.06.2013)

Хм… Почему такая избирательность инструкции
относительно ГИА?
Во-первых, публикации решений по госэкзаменам, будь то ЕГЭ или ГИА совсем не приветствуются. Об этом только и говорят сейчас все СМИ. Пусть даже это опубликовано после экзаменов.
Во-вторых, если было желание рассказать о геометрии, то зачем писать такой заголовок?
Получилось слишком нарочито. Правильнее было бы обозначить цель задачи и дать решение, а не делать основным ссылку на ГИА

Avatar_micro
Рейтинг
  1. +
  2. 0
almoro (11:31 11.06.2013)

Это задача из экзамена, она есть также также в книге “ГИА по математике 30 вариантов”. Но условие я изменил, так что ничего противозаконного не делаю.
Насчет заголовка вы, наверное, правы.

Ваш комментарий

Запросить инструкцию

Не нашли нужную пошаговую инструкцию?
Возможно, что кто-то из посетителей сайта сможет помочь. Оставьте запрос прямо сейчас, если Вы уверены, что эта тема ещё не освещена на нашем проекте!

Рейтинг
  1. +
  2. -1
2
10